Question

设F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l₁，l₂，过F作直线l₁的垂线，分别交l₁，l₂于A、B两点，且向量

BF

与

FA

同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（　　）

Answer 1

分析：由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

解答：解：不妨设OA的倾斜角为锐角
∵向量

BF

与

FA

同向，
∴渐近线l₁的倾斜角为（0，

π

4

），
∴渐近线l₁斜率为：k=

b

a

＜1，
∴

a2

b2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，
∴1＜e²＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∴|OB|-|OA|=

1

2

|AB|，
∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列
∴|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=

3

4

|AB|
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=

4

3

，
由对称性可知：OA的斜率为k=tan（

π

2

-

1

2

∠AOB），
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

（k=-2舍去）；
∴

b

a

=

1

2

，∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e²-1=

1

4

，
∴e²=

5

4

，
∴e=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定|OA|=

3

4

|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．