Question

设F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l₁，l₂，过F作直线l₁的垂线，分别交l₁，l₂于A、B两点．若OA，AB，OB成等差数列，且向量

BF

与

FA

同向，则双曲线离心率e的大小为______．

Answer 1

不妨设OA的倾斜角为锐角
∵向量

BF

与

FA

同向，，
∴渐近线l₁的倾斜角为（0，

π

4

），
∴渐近线l₁斜率为：k=

b

a

＜1，∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，∴1＜e²＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|）
∴|OB|-|OA|=

1

2

|AB|
∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列
∴|OA|+|OB|=2|AB|
∴|OA|=

3

4

|AB|
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=

4

3

由对称性可知：OA的斜率为k=tan（

π

2

-

1

2

∠AOB）
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

（k=-2舍去）；
∴

b

a

=

1

2

，∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1=

1

4

∴e²=

5

4

∴e=

5

2

故答案为

5

2

．