Question

（2013•嘉兴二模）设F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左焦点，C是其右顶点，过F作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A．（1，2）
• B．（1+

  2

  ，+∞）
• C．（1，1+

  2

  ）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：利用双曲线的对称性及钝角△ABC，可得∠ACF₁＞45°，从而得到|AF₁|＞|CF₁|，由此建立关于a、b、c的不等式，转化成关于离心率e的一元二次不等式，解之即可得出双曲线离心率的范围．

解答：解：根据双曲线的对称性，可得|AC|=|BC|，
∴△ABC是等腰三角形，
若△ABC是钝角三角形，则∠ACB是钝角．
∵∠ACF₁=

1

2

∠ACB，可得Rt△ACF₁中，∠ACF₁＞45°．
∴|AF₁|＞|CF₁|，可得

b2

a

＞a+c，
即

c2-a2

a

＞a+c，整理得c²-ac-2a²＞0
两边都除以a²，可得e²-e-2＞0，解之得e＜-1或e＞2．
∵双曲线的离心率e∈（1，+∞），∴e＞2．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的对称性和双曲线的三个参数关系：c²=a²+b²，同时考查了等腰三角形的性质和二次不等式的解法等知识，属于中档题．