Question

11．若函数f（x）满足对任意的两个不相等的正数x₁，x₂，下列三个式子：f（x₁-x₂）+f（x₂-x₁）=0，（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$都恒成立，则f（x）可能是（　　）

• A． f（x）=$\frac{1}{x}$
• B． f（x）=-x²
• C． f（x）=-tanx
• D． f（x）=|sinx|

Answer 1

分析 推导出f（x）是奇函数，且是减函数，由此排除B，D；再利用特殊值排除C，由此利用排除法能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）满足对任意的两个不相等的正数x₁，x₂，
f（x₁-x₂）+f（x₂-x₁）=0，（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，
∴f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴选项B和选项D不成立，
∵f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，
在A中，f（x）=$\frac{1}{x}$，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵（x₁+x₂）²=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}$＞4x₁x₂，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故A成立；
在C中，f（x）=-tanx，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-tan$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{-tan{x}_{1}-tan{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂），
取${x}_{1}=\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{9π}{4}$，得f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=f（$\frac{5π}{4}$）=-tan$\frac{5π}{4}$=-1，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{-tan{x}_{1}-tan{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂）=-1，
此时，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故C不成立．
故选：A．

点评 本题考查满足条件的函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．