Question

【题目】已知以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.

(1)求椭圆的方程：

(2)若是椭圆上的动点,求的取值范围；

(3)直线：与椭圆交于异于椭圆顶点的,两点,为坐标原点,直线与椭圆的另一个交点为点,直线和直线的斜率之积为1,直线与轴交于点.若直线,的斜率分别为,试判断,是否为定值,若是,求出该定值；若不是,说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ； (3)是定值,为0.

【解析】

(1)由题意可知：,解这个方程组即可；

(2)把椭圆的方程化为参数方程,根据辅助角公式可以求出的取值范围；

(3)直线方程与椭圆的标准方程联立,利用根与系数关系,可以判断出为定值.

(1)因为以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.所以有,解得,所以椭圆的方程为：

(2)椭圆椭圆的参数方程为：(为参数且).

因为是椭圆上的动点,

所以,其中.

.

(3)设,则,.直线：与椭圆的方程联立为：消去得

,由根与系数关系可得：

直线的方程为：,令,因为,所以.

。

.