Question

【题目】已知命题 ： 表示双曲线，命题 ： 表示椭圆。

（1）若命题与命题 都为真命题，则 是 的什么条件？

（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）

（2）若 为假命题，且 为真命题，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） 是 的必要不充分条件（2） 或。

【解析】试题分析：(1) 根据双曲线的定义，若命题为真命题则 ,若 都为真命题则 或，由，可得 是 的必要不充分条件；（2）由 为假命题，且 为真命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围..

试题解析：（1）∵命题 ： 表示双曲线是真命题，

∴ ，

解得 ,

又∵命题 ： 表示椭圆是真命题，

∴

解得 或

∵

∴ 是 的必要不充分条件,

（2）∵ 为假命题，且 为真命题

∴ 、 为“一真一假”，

当 真 假时，由（1）可知，

为真，有 ，①

为假， 或 或 ②

由①②解得 或

当 假真时，由（1）可知，

为假，有 或 ，③

为真，有 或 ④

由③④解得，无解

综上，可得实数 的取值范围为 或.