Question

15．已知椭圆C的焦点分别为F₁（$-2\sqrt{2}$，0）、F₂（$2\sqrt{2}$，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（a＞b＞0），由题意可得a，c，求得b，进而得到椭圆的方程；
（2）联立直线和椭圆方程消去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，结合三角形的面积公式可得所求面积．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（a＞b＞0），
由题意$a=3，c=2\sqrt{2}$，于是b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
（2）由 $\left\{{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{x^2}{9}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得10x²+36x+27=0，
由于该二次方程的△＞0，所以点A、B不同．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{-18}{5}$，${x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，
方法一、设点O到直线y=x+2的距离为d，则$d=\frac{|0-0+2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
所以|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{18}{5}）^{2}-\frac{4×27}{10}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{{6\sqrt{3}}}{5}=\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$；
方法二、设直线y=x+2与x轴交于点M（-2，0），
则S_△OAB=S_△OAM+S_△OBM，
由①可知，${y_1}+{y_2}=（{x_1}+2）+（{x_2}+2）={x_1}+{x_2}+4=\frac{2}{5}$，${y_1}{y_2}=（{x_1}+2）（{x_2}+2）={x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4=-\frac{1}{2}$，
则${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•2|{y_1}|+\frac{1}{2}•2|{y_2}|=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\sqrt{{{（{\frac{2}{5}}）}^2}-4（{-\frac{1}{2}}）}=\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质和a，b，c的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．