题目内容

在△ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 $数学公式$ ．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）若 $数学公式$ ，求a，b，c的值；
（3）已知tan（α+A+C）=2，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，且A为锐角
∴cosA= $\text{[math]}$ ，sinA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵sinC= $\text{[math]}$ ，且C为锐角
∴cosC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因此，cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）∵cos（A+C）= $\text{[math]}$ ，0＜A+C＜π，∴A+C= $\text{[math]}$ ，得B=π- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，sinB= $\text{[math]}$
∵sinA= $\text{[math]}$ ，sinB= $\text{[math]}$ ，sinC= $\text{[math]}$ ，
∴sinA：sinB：sinC=2 $\text{[math]}$ ：5 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$
由正弦定理，得a：b：c=2 $\text{[math]}$ ：5 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，设a=2 $\text{[math]}$ x，得b=5 $\text{[math]}$ x，c= $\text{[math]}$ x
∵ $\text{[math]}$ ，得2 $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$
∴x= $\text{[math]}$ ，可得a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c=1
（3）由（2）知A+C= $\text{[math]}$ ，得tan（α+ $\text{[math]}$ ）=2
∴ $\text{[math]}$ =2，解之得tanα= $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）根据二倍角三角函数与同角三角函数的关系，算出cosA、sinA和cosC的值，最后用两角和的余弦公式，即可求出cos（A+C）的值；
（2）由（1）求出的cos（A+C）值，可得A+C= $\text{[math]}$ ，从而算出sinB= $\text{[math]}$ ，结合正弦定理得出a：b：c=2 $\text{[math]}$ ：5 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，再结合题意 $\text{[math]}$ ，不难得出三边a，b，c的值；
（3）由题意，tan（α+ $\text{[math]}$ ）=2，解之得tanα= $\text{[math]}$ ，再将所求式的分子转化为cos²α+sin²α，分子分母同除以cos²α转化为关于tanα的式子，即可得到所求式子的值．
点评：本题给出三角形的两个角A、C与边a、c的关系式，求三边的长并求三角函数式的值，着重考查了三角恒等变形、三角形内角和定理和用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．