Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1，则

1

a2

+

1

b2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：a＞0，b＞0，a+b=1，k可得b=1-a．令

1

a2

+

1

b2

=

1

a2

+

1

(1-a)2

=f（a）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴b=1-a．
∴

1

a2

+

1

b2

=

1

a2

+

1

(1-a)2

=f（a）．
f′（a）=-

2

a3

-

2

(a-1)3

=

-2(2a-1)(3a2-3a+1)

a3(a-1)3

，
当0＜a＜

1

2

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递减；当

1

2

＜a＜1时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递增．
∴当a=

1

2

=b时，f（a）取得最小值，f(

1

2

)=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了利用导数研究函数单调性极值与最值，属于基础题．