Question

如图△为直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连交圆于点．

（Ⅰ）求证：、、、四点共圆；

（Ⅱ）设，，求的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）（1）做出辅助线，首先证明两个三角形全等，根据三角形三边对应相等，得到两个三角形全等，得到对应角相等，从而得到四边形一对对角互补，即四点共圆．

（2）5

【解析】

试题分析：（1）证明：连结OE，BE

∵AB为圆O直径    ∴BE⊥AE

OB=OE      ∴∠BEO=∠OBE

Rt△BEC中    D为BC中点      ∴BD=DE   ∠BED=∠DBE

∠OED=∠BEO+∠BED=∠OBE+∠DBE=∠OBD=∠ABD=90°

∠OED+∠OBD=180°

∴O、B、D、E四点共圆               5分

（II）解：延长DO交圆于H， O、D分别为AB、AC中点

OD=AC=3      MH=AB=4    DM=1

由（I）OE⊥DE    E为圆上    ∴DE为圆O切线

DE²=DM·DH=1·（4+1）=5                 10分

考点：三角形全等，四点共圆

点评：本题考查三角形全等，考查四点共圆，考查圆的切割线定理，是一个平面几何的综合题目，解题时注意分析要证明的结论与条件之间的关系