Question

【题目】以下五个关于圆锥曲线的命题中：

①平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为；

②点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则的最小值是6；

③平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆；

④若过点C（1，1）的直线交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线的方程是．

⑤已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是

其中真命题的序号是______．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】

由双曲线的定理可判定①；由抛物线的定义和三点共线取得最小值，可判定②；由时为两个定点连线的垂直平分线，可判定③；由点差法和直线的斜率公式，中点坐标公式判定④；由抛物线的定义和三点共线取得最小值，可判定⑤，得到答案.

由题意，①中，平面内与定点和的距离之差等于4，根据双曲线的定义可得轨迹为双曲线的右支，且，即方程为，所以是错误的；

②中，点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影为M点，且，由于点A在抛物线开口之外，抛物线的焦点F坐标为，则，

由点A、P、F三点共线可得取得最小值，所以是正确的；

③中，平面内到两定点距离之比等于的点的轨迹不一定是圆，若，此时为两个定点的垂直平分线，所以是错误的；

④中，若过点的直线角椭圆于不同的两点A、B，且C是AB的中点，可得C在椭圆的内部，设，可得，两式相减可得，由于，

所以，则直线的方程为，所以是正确的；

⑤已知P为抛物线上一动点，Q为圆上的一个动点，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离，

又由的最小值即为到圆心的距离减半径1，即有最小值为，

则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值为，所以是正确的，

所以正确命题的序号为②④⑤.