Question

10．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b^a＞a^b．（提示：可考虑用分析法找思路）

Answer 1

分析 直接利用分析法的证明步骤，结合函数的单调性证明即可．

解答 证明：∵b^a＞0，a^b＞0，
∴要证：b^a＞a^b
只要证：alnb＞blna
只要证$\frac{lnb}{b}＞\frac{lna}{a}$．（∵a＞b＞e）
取函数$f（\begin{array}{l}x\end{array}）=\frac{lnx}{x}$，∵$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）=\frac{1-lnx}{x^2}$
∴当x＞e时，$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）＜0$，∴函数$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$上是单调递减．
∴当a＞b＞e时，有$f（\begin{array}{l}b\end{array}）＞f（\begin{array}{l}a\end{array}）$，
即$\frac{lnb}{b}＞\frac{lna}{a}$．得证．

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．