题目内容
已知函数f（x）=|x-5|-|2x-2|+2．
（1）求f（x）的值域；
（2）关于x的不等式f（x）≤t+
，对t＞0恒成立，求x的取值范围．
（1）求f（x）的值域；
（2）关于x的不等式f（x）≤t+
| 1 |
| t |
考点：绝对值不等式的解法,函数的值域
专题：不等式的解法及应用
分析：（1）化简函数f（x）的解析式，利用函数的单调性求出f（x）的值域．
（2）利用基本不等式可得f（x）≤2，数形结合求得此不等式的解集．
（2）利用基本不等式可得f（x）≤2，数形结合求得此不等式的解集．
解答：
解：（1）函数f（x）=|x-5|-|2x-2|+2=
，故函数f（x）在（-∞，1）上是增函数，
f（x）在[1，+∞）上是减函数，
故当x=1时，函数f（x）取得最大值为f（1）=6，f（x）没有最小值，故函数f（x）的值域为（-∞，6]．
（2）对t＞0，则有t+
≥2，故有f（x）≤2．
令f（x）=2，求得x=-3，或x=
，数形结合求得f（x）≤2的解集为（-∞，-3]∪[
，+∞）．
即要求的x的取值范围为（-∞，-3]∪[
，+∞）．
解：（1）函数f（x）=|x-5|-|2x-2|+2=
|
f（x）在[1，+∞）上是减函数，
故当x=1时，函数f（x）取得最大值为f（1）=6，f（x）没有最小值，故函数f（x）的值域为（-∞，6]．
（2）对t＞0，则有t+
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| t |
令f（x）=2，求得x=-3，或x=
| 7 |
| 3 |
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| 3 |
即要求的x的取值范围为（-∞，-3]∪[
| 7 |
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点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
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