Question

9．已知函数f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$（a＞1）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥log_a（2x），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，进而结合反比例函数的图象和性质，和对数函数的图象和性质，利用分析法，可得函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥log_a（2x），则$\frac{3+x}{3-x}$≥2x，结合（1）中由x∈（-3，3），及2x∈（0，+∞），可得答案．

解答 解：（1）由$\frac{3+x}{3-x}＞0$得：$\frac{x+3}{x-3}＜0$，
解得：x∈（-3，3），
又∵函数f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$=log_a（$\frac{6}{3-x}$-1）=log_a（$\frac{-6}{x-3}$-1）（a＞1）．
∴当：x∈（-3，3）时，$\frac{-6}{x-3}$为增函数，
故函数f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$（a＞1）为增函数；
（2）∵a＞1，故y=log_ax为增函数，
若f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$≥log_a（2x），
则$\frac{3+x}{3-x}$≥2x，
解得：x≤$\frac{1}{2}$，或x≥3，
又由x∈（-3，3），且2x∈（0，+∞）得：
x∈（0，$\frac{1}{2}$]

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数不等式的解法，难度中档．