Question

14．对于实数a和b，定义运算*：$a*b=\left\{\begin{array}{l}{a^2}-ab（a≤b）\\{b^2}-ab（a＞b）\end{array}\right.$，设f（x）=（2x-1）*（x-1），若直线y=m与函数y=f（x）恰有三个不同的交点，则m的取值范围（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）x，x≤0}\\{-x（x-1），x＞0}\end{array}\right.$，作函数f（x）的图象，利用数形结合的方法求解．

解答 解：当x≤0时，2x-1≤x-1，
f（x）=（2x-1）*（x-1）
=（2x-1）²-（2x-1）（x-1）
=（2x-1）x，
当x＞0时，2x-1＞x-1，
f（x）=（2x-1）*（x-1）=-x（x-1），
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）x，x≤0}\\{-x（x-1），x＞0}\end{array}\right.$，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）x，x≤0}\\{-x（x-1），x＞0}\end{array}\right.$的图象如下，

结合图象可知，
m的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）；
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了数形结合的思想的应用及分段函数的化简与运算．