Question

17．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为5，其中一个侧面的面积为10，另两个侧面面积之和为20．
（1）求该三棱柱的体积的最大值；
（2）当该三棱柱的体积取到最大值时，求三棱柱的表面积；
（3）当该三棱柱的体积取到最大值时，设O，O₁分别为△ABC，△A₁B₁C₁的重心，S在OO₁上，点P为三棱锥S-ABC侧棱SA上的动点，若SA=4，求△PBC的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得当AB=BC=AC=2时，该三棱柱的体积取最大值，由此能求出该三棱柱的体积的最大值．
（2）当该三棱柱的体积取到最大值时，AB=BC=AC=2，高AA₁=5，由此能求出三棱柱的表面积．
（3）该三棱柱的体积取到最大值时，AB=BC=AC=2，高AA₁=5，当PB⊥PA时，△PBC的周长取最小值，以O为原点，过O作CB平行线为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出△PBC的周长的最小值．

解答 解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为5，其中一个侧面的面积为10，另两个侧面面积之和为20，
∴△ABC的一条边长为$\frac{10}{5}=2$，另两条边长之和为：$\frac{20}{5}$=4，
设AB=2，BC+AC=4，则当AB=BC=AC=2时，该三棱柱的体积取最大值，
此时（S_△ABC）_max=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴V_max=（S_△ABC）_max•h=5$\sqrt{3}$．
（2）当该三棱柱的体积取到最大值时，AB=BC=AC=2，高AA₁=5，
∴三棱柱的表面积S=2（S_△ABC）_max+3（5×2）=30+2$\sqrt{3}$．
（3）该三棱柱的体积取到最大值时，AB=BC=AC=2，高AA₁=5，
当PB⊥PA时，△PBC的周长取最小值，
连结OA，则OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OS=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{33}}{3}$，
以O为原点，过O作CB平行线为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），S（0，0，$\frac{2\sqrt{33}}{3}$），B（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），C（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
设P（a，b，c），$\overrightarrow{SA}$=（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{33}}{3}$），$\overrightarrow{SP}=λ\overrightarrow{SA}$，即（0，b，c-$\frac{2\sqrt{33}}{3}$）=（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$，-$\frac{2\sqrt{33}}{3}λ$），
∴P（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$，$\frac{2\sqrt{33}}{3}-\frac{2\sqrt{33}}{3}λ$），$\overrightarrow{BP}=（-1，-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2\sqrt{33}}{3}-\frac{2\sqrt{33}}{3}λ）$，
∵PB⊥PA，∴$\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{BP}$=0+$\frac{12}{9}λ+\frac{6}{9}-\frac{132}{9}+\frac{132}{9}λ=0$，解得$λ=\frac{7}{8}$，
∴P（0，-$\frac{7\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{33}}{12}$），$\overrightarrow{BP}=（-1，-\frac{11\sqrt{3}}{12}，\frac{\sqrt{33}}{12}）$，$\overrightarrow{BC}$=（1．-$\frac{11\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{33}}{12}$），
∴|$\overrightarrow{BP}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{1+\frac{363}{144}+\frac{33}{144}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴△PBC的周长的最小值为：$\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2}+2$=2+$\sqrt{15}$．

点评 本题考查该三棱柱的体积的最大值、三棱柱的表面积和△PBC的周长的最小值的求地法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．