Question

12．若函数$f（x）=-\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}+alnx$在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． .[-1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． （1，+∞）
• D． .（-∞，1]

Answer 1

分析 求出函数的导函数，利用导函数的符号，得到a的不等式，然后求解实数a的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=-\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}+alnx$，x∈（1，+∞），
可得f′（x）=x-2+$\frac{a}{x}$，
函数$f（x）=-\frac{1}{2}{（{x-2}）^2}+alnx$在（1，+∞）上是减函数，
可得-x+2+$\frac{a}{x}$＜0，在x∈（1，+∞）上恒成立，
即a＜x²-2x在x∈（1，+∞）上恒成立，
函数g（x）=x²-2x的对称轴为：x=1，在x∈（1，+∞）上是增函数，函数的最小值为：g（1）=1．
可得a≤1．
实数a的取值范围是：（-∞，1]．
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查计算能力以及转化思想的应用．