Question

11．已知圆M：x²+y²-4y+3=0，Q是x轴上动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点，
（1）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直线MQ的方程；
（2）求四边形QAMB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直线和圆相交的性质求出MN，再利用圆的切线性质求得Q的坐标，再用两点式求得直线MQ的方程．
（2）当MQ取得最短时，四边形QAMB面积的最小值，即Q与O重合，求得此时QA的值，接口求得四边形QAMB面积的最小值．

解答 解：（1）圆M：x²+y²-4y+3=0，即 x²+（y-2）²=1，圆心M（0，2），半径r=1．
由${（\frac{AB}{2}）}^{2}$+MN²=r²=1，求得：MN=$\frac{1}{3}$．
由 BM²=MN•MQ，求得MQ=3．
设Q（x₀，0），则 $\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+4}$=3，即 x₀=±$\sqrt{5}$．
所以直线MQ的方程为2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0 或 2x-$\sqrt{5}$y+2$\sqrt{5}$=0．
（2）易知，当MQ取得最短时，四边形QAMB面积的最小值，即Q与O重合，
此时，QA=$\sqrt{3}$，
即四边形QAMB面积的最小值为 1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，圆的标准方程，求直线的方程，属于中档题．