Question

已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点．
（1）点A（1，0）到直线l的距离为1，求l的方程；
（2）求点A（1，0）到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析：（1）联立方程组求得交点坐标，分直线l不存在斜率，存在斜率两种情况讨论，不存在斜率时易检验；存在斜率时设l的点斜式方程，由点A到直线l的距离可求得斜率；
（2）用斜率k表示出点A（1，0）到直线的距离d，恰当变形后利用基本不等式可求得其最大值；

解答：（1）联立

2x+y-5=0 x-2y=0

，解得交点B（2，1），
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=2，
此时点A到直线l的距离为1，满足；                         
若直线l的斜率存在，
设方程为y-1=k（x-2），
即kx-y+1-2k=0，
∴

|k+1-2k|

k2+1

=1，
解得k=0，直线方程为y=1；              
综上得：直线l的方程为x=2或y=1．
（2）由（1）可得点A到直线l的距离为d=

|k+1-2k|

k2+1

=

k2-2k+1 k2+1

=

1+ -2k k2+1

，
显然k＜0时，d有最大值，且d=

1+ -2k k2+1

=

1+ 2 (-k)+ 1 (-k)

≤

1+ 2 2

=

2

当且仅当k=-1取等号，
∴点A到直线l的距离的最大值为

2

．

点评：本题考查直线方程的求解、点到直线的距离公式及基本不等式，考查函数思想，考查学生解决问题的能力．