Question

已知直线l经过直线x-y=0与x+y-2=0的交点．
（1）若点（-1，0）到直线l的距离是2，求直线l的方程．
（2）求点（-1，0）到直线l的距离最大时的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出直线方程y=kx+b，先联立两条直线的解析式求出两条直线的交点坐标代入直线方程得①，然后利用点到直线的距离公式得到得到②，联立①②即可求出k和b；
（2）先求出由（1，1）与（-1，0）确定的直线的斜率，由题意可知点（-1，0）到直线l的距离最大时即为（1，1）与（-1，0）确定的直线与直线l垂直，根据两直线垂直时斜率乘积为-1得到k的值，然后代入①求出b，即可得到直线l的方程．

解答：解：（1）设直线l方程为y=kx+b，
联立直线方程得：

x-y=0 x+y-2=0

解得

x=1 y=1

，所以直线l过（1，1），代入直线l得：k+b=1①
由点（-1，0）到直线l的距离是2得：

|-k+b|

k2+(-1)2

=2②，联立①②解得：k=-

3

4

，b=

7

4

，所以直线l的方程为3x+4y-7=0；
（2）设出直线l的方程为y=kx+b，根据（1）得①，
点（-1，0）到直线l的距离最大即点（1，1）与点（-1，0）确定的直线与直线l垂直，
所以k=

-1

1-0 1-(-1)

=-2，代入①得b=3，
所以直线l的方程为2x+y-3=0．

点评：考查学生会根据两直线方程求出交点坐标，会根据斜率和一点坐标求直线的一般式方程．要求学生要会灵活运用点到直线的距离公式求值，同时会利用两直线垂直时斜率乘积为-1解决数学问题．