题目内容
数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），a1=27，（1）记
，是否存在实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，说明理由？（2）设
，试求使不等式（1+C1）（1+C2）…
对所有n∈N*成立的最大实数k．
【答案】分析：（1）假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，从而有2bn=bn-1+bn+1，故可求；
（2）由（1）知：
原不等式等价于
，利用分离参数法，再考查
的单调性，利用其最小值，可求
最大实数k的值．
解答：解：（1）假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．则2bn=bn-1+bn+1
∴
∴4an=4an-1+an+1+t
∴
∴t=1
即存在t=1，使得数列{bn}为等差数列．
（2）由（1）知：
原不等式等价于
∴
令
，则
∴g（n）为单增数列，故
∴
∴最大实数k为
．
点评：本题以数列为载体，考查数列与不等式的综合，考查数列的通项公式的求法，存在性问题的求解，关键是分离参数，利用最值求解．
（2）由（1）知：
原不等式等价于
，利用分离参数法，再考查
的单调性，利用其最小值，可求最大实数k的值．
解答：解：（1）假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．则2bn=bn-1+bn+1
∴
∴4an=4an-1+an+1+t
∴
∴t=1
即存在t=1，使得数列{bn}为等差数列．
（2）由（1）知：
原不等式等价于
∴
令
，则
∴g（n）为单增数列，故
∴
∴最大实数k为
．点评：本题以数列为载体，考查数列与不等式的综合，考查数列的通项公式的求法，存在性问题的求解，关键是分离参数，利用最值求解．
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