题目内容

（2013•浦东新区二模）数列{an}满足an+1=
4an-2
an+1
（n∈N*）．
①存在a1可以生成的数列{an}是常数数列；
②“数列{an}中存在某一项ak=
49
65
”是“数列{an}为有穷数列”的充要条件；
③若{an}为单调递增数列，则a1的取值范围是（-∞，-1）∪（1，2）；
④只要a1≠
3k-2k+1
3k-2k
，其中k∈N*，则
lim
n→∞
an一定存在；
其中正确命题的序号为
①④
①④
．
分析：根据已知中数列{an}满足an+1=
4an-2
an+1
（n∈N*）．举出正例a1=1或a1=2，可判断①；举出反例a1=
1
5
，可判断②；举出反例a1=-2，可判断③；构造数列bn=
an-1
an-2
，结合已知可证得数列{bn}是以
3
2
为公比的等比数列，进而可判断④．
解答：解：当a1=1时，an=1恒成立，当a1=2时，an=2恒成立，故①正确；
当a1=
1
5
时，a2=-1，数列{an}为有穷数列，但不存在某一项ak=
49
65
，故②错误；
当a1=-2时，a1∈（-∞，-1）∪（1，2），此时a2=10 a3=
38
11
，数列不存在单调递增性，故③错误；
∵an+1=
4an-2
an+1

∴an+1-1=
4an-2
an+1
-1=
3an-3
an+1
…①
且an+1-2=
4an-2
an+1
-2=
2an-4
an+1
…②
①÷②得：
an+1-1
an+1-2
=
3
2
•
an-1
an-2

令bn=
an-1
an-2
，则数列{bn}是以
3
2
为公比的等比数列
则bn=(
3
2
)n-1•b1
∴an=
2•(
3
2
)n-1•b1+1
(
3
2
)n-1•b1-1
=2+
3
(
3
2
)n-1•b1-1

当a1≠
3k-2k+1
3k-2k
时，2+
3
(
3
2
)n-1•b1-1
的极限为2，否则式子无意义，故④正确
故答案为：①④
点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题
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