题目内容

若数列{an} 满足
an+12an2
=p（p为正常数，n∈N*），则称{an} 为“等方比数列”．则“数列{an} 是等方比数列”是“数列{an} 是等比数列”的
必要非充分
必要非充分
条件．
分析：若{an} 为“等方比数列”，说明数列{an2}成公比为p的等比数列，而数列{an}的符号不能确定，故不一定成等比数列；反过来若“数列{an} 是等比数列”成立，说明
a n+1
a n
=q是一个非零常数，则
an+12
an2
=q2是一个正常数符合等方比的定义，所以“数列{an} 是等方比数列”成立．由此可以得出正确答案．
解答：解：充分性：若数列{an} 为“等方比数列”，设
an+12
an2
=p=1
可得数列{an} 的各项的绝对值相等，但符号不能确定．
比如：1，1，-1，-1，1，1，-1，-1，…，
就是一个等方比数列，而不是等比数列，故充分性不成立；
必要性：若“数列{an} 是等比数列”，设它的公比是q（q≠0）
则
a n+1
a n
=q⇒
an+12
an2
=q2（正常数），
说明数列{an} 为“等方比数列”，故必要性成立．
综上所述，“数列{an} 是等方比数列”是“数列{an} 是等比数列”的 必要非充分条件
故答案为：必要非充分
点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．将条件进行化简，找出“谁能推出谁”和“谁被谁推出”的问题，是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
若数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则通项an=
3×2n-1-n-1
3×2n-1-n-1
．
设m＞3，对于数列{an} （n=1，2，…，m，…），令bk为a1，a2，…，ak中的最大值，称数列 {bn} 为{an} 的“递进上限数列”．例如数列2，1，3，7，5的递进上限数列为2，2，3，7，7．则下面命题中
①若数列{an} 满足an+3=an，则数列{an} 的递进上限数列必是常数列；
②等差数列{an} 的递进上限数列一定仍是等差数列
③等比数列{an} 的递进上限数列一定仍是等比数列
正确命题的个数是（　　）
（2009•烟台二模）若数列{an}满足an+12-
a
2
n
=d（d为正常数，n∈N+），则称{an}为“等方差数列”．甲：数列{an}为等方差数列；乙：数列{an}为等差数列，则甲是乙的（　　）
（2009•潍坊二模）已知函数f（x）=ax-
ln(1+x)
1+x
在x=0处取得极值．
（I）求实数a的值，并判断，f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），求证：0＜an+1＜an≤l；
（Ⅲ）在（II）的条件．下，记sn=
a1
1+a1
+
a1．a2
(1+a1)(1+a2)
+…+
a1．a2…an
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
，求证：sn＜1．
已知函数f（x）=
x
x+1
，若数列{an}满足：an＞0，a1=1，an+1=[f（
an
）]2，
（I）求数列{an}的通项公式数列an；
（II）若数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜2．

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