Question

已知函数f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在[t，t+1]上不单调，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：先由函数求f′（x）=-x-3+

4

x

，再由“函数f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=-x-3+

4

x

=0在区间（t，t+1）上有解”从而有

x2+3x-4

x

=0在（t，t+1）上有解，进而转化为：x²+3x-4=0在（t，t+1）上有解，进而求出答案．

解答： 解：∵函数f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx，
∴f′（x）=-x-3+

4

x

，
∵函数f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在（t，t+1）上不单调，
∴f′（x）=-x-3+

4

x

=0在（t，t+1）上有解
∴

x2+3x-4

x

=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²+3x-4=0在（t，t+1）上有解，
由x²+3x-4=0得：x=1，或x=-4（舍），
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
故实数t的取值范围是（0，1），
故答案为：（0，1）．

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．