Question

证明不等式（n∈N^*）

Answer 1

【答案】分析：证法一：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可．
证法二：构造函数f（n）=，通过函数单调性定义证明f（k+1）＞f（k）
然后推出结论．
解答：证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+＜2，
则

∴当n=k+1时，不等式也成立．
综合（1）、（2）得：当n∈N^*时，都有1+＜2．
证法二：设f（n）=，
那么对任意k∈N?^* 都有：



∴f（k+1）＞f（k）
因此，对任意n∈N^* 都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，
∴．
点评：本题考查数学归纳法证明不等式的应用，构造法与函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想．