题目内容

证明不等式1+(n∈N).

证明：1°当n=1时，左边=1，右边=2.左边＜右边.不等式成立.

2°假设当n=k时，不等式成立，即1+,则当n=k+1时,1+(现在关键证明).∵

=(基本不等式放缩)

==0,

∴,

即当n=k+1时,原不等式成立，由1°、2°,可知对任意n∈N,原不等式成立.

练习册系列答案
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用数学归纳法证明不等式1+
1
2
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
127
64
（n∈N*）成立，其初始值至少应取
8
8
．
（2012•丰台区一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{
bn
2n
}为等差数列，并求{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数λ，使得不等式(-1)nλ＜1+
Tn-6
Tn+1-6
（n∈N*）恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2012•济南三模）设函数f（x）=x2-2（-1）klnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当k为偶数时，数列{an}满足a1=1，anf′(an)
=a
2
n+1
-3．证明：数列{
a
2
n
}中不存在成等差数列的三项；
（Ⅲ）当k为奇数时，设bn=
1
2
f′(n)-n，数列{bn}的前n项和为Sn，证明不等式(1+bn)
1
bn+1
＞e对一切正整数n均成立，并比较S2012-1与ln2012的大小．
证明不等式1+(n∈N).

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