题目内容
（类型A）已知函数f（x）=
，f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：（1）当a≤0时，
（2）当a≤4时，|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|
（类型B）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人．如何组团，可使旅行社的收费最多？
【答案】分析：（类型A）（1）将x1，x2代入整理，整理出关于x1，x2的关系式，结合基本不等式使用条件，再由基本不等式可证．
（2）先对函数f（x）进行求导，将x1，x2代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有
恒成立，从而得证．
（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180），求出对称轴得到函数的最大值．
解答：解：（类型A）证明：（1）由
得
=
而
①
又（x1+x2）2=（x12+x22）+2x1x2＞4x1x2
∴
②
∵
∴
∵a≤0
∴
③
由①、②、③得
即
．
（2）：由
，得 
∴
=
下面证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有
恒成立
即证
成立
∵
设
，
则
，
令u′（x）=0得
，列表如下：
∴
∴对任意两个不相等的正数x1，x2，恒有|f'（x1）-f'（x2）|＞|x1-x2|．
（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：
y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180）．
整理得：y=-5x2+1500x=-5（x-150）2+112500．
所以当x=150人时，旅行团的收费最多为112500元．
点评：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力．
（2）先对函数f（x）进行求导，将x1，x2代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有
恒成立，从而得证．（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180），求出对称轴得到函数的最大值．
解答：解：（类型A）证明：（1）由
得
=而
①又（x1+x2）2=（x12+x22）+2x1x2＞4x1x2
∴
②∵
∴
∵a≤0
∴
③由①、②、③得
即
．（2）：由
，得 ∴
=下面证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有
恒成立即证
成立∵
设
，则
，令u′（x）=0得
，列表如下： ∴
∴对任意两个不相等的正数x1，x2，恒有|f'（x1）-f'（x2）|＞|x1-x2|．
（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：
y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180）．
整理得：y=-5x2+1500x=-5（x-150）2+112500．
所以当x=150人时，旅行团的收费最多为112500元．
点评：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力．
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