Question

（类型A）已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．
（类型B）已知函数f（x）=x³-ax+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

（类型A）（1）f（x）=x³+ax²+x+1∴f'（x）=3x²+2ax+1
当a²≤3时，即 -

3

≤a≤

3

时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a²＞3时，即 a＜-

3

或 a＞

3

时，△＞0，f'（x）=0求得两根为 x=

-a± a2-3

3

即f（x）在 (-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上递增，在 (

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)递减．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即 2a≥

-1-3x2

x

在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知

-1-3x2

x

在 (-

2

3

，-

3

3

)上为减函数，在 (-

3

3

，-

1

3

)上为增函数．

-1-3x2

x

＜4．
所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．
（类型B）（1）f（x）=x³-ax+1∴f'（x）=3x²-a
当a≤0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a＞0时，f'（x）=0求得两根为x=±

a 3

即f（x）在（-∞，- 

a 3

），（

a 3

，+∞）上递增，在（-

a 3

，

a 3

）递减．
（2）f'（x）=3x²-a≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即a≥3x²在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知3x²在（-

2

3

，-

1

3

）上为减函数，
所以a≥

4

3

．a的取值范围是[

4

3

，+∞）．