Question

（类型A）已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．
（类型B）已知函数f（x）=x³-ax+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（类型A）（1）求出函数f（x）=x³+ax²+x+1，对参数a的范围进行讨论得出函数的单调区间．
（2）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，即导数在区间(-

2

3

，-

1

3

)内恒小于0由二次函数的性质转化出关于参数的不等式，解出a的取值范围．
（类型B））（1）求出函数f（x）=x³-ax+1，对参数a的范围进行讨论得出函数的单调区间；
（2）先由函数求导，再由“函数f（x）在区间 (-

2

3

，-

1

3

)内是减函数”转化为“f'（x）=3x²-a≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立”，进一步转化为最值问题：3x²≤a在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立，求得函数的最值即可．

解答：解：（类型A）（1）f（x）=x³+ax²+x+1∴f'（x）=3x²+2ax+1
当a²≤3时，即 -

3

≤a≤

3

时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a²＞3时，即 a＜-

3

或 a＞

3

时，△＞0，f'（x）=0求得两根为 x=

-a± a2-3

3

即f（x）在 (-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上递增，在 (

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)递减．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即 2a≥

-1-3x2

x

在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知

-1-3x2

x

在 (-

2

3

，-

3

3

)上为减函数，在 (-

3

3

，-

1

3

)上为增函数．

-1-3x2

x

＜4．
所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．
（类型B）（1）f（x）=x³-ax+1∴f'（x）=3x²-a
当a≤0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a＞0时，f'（x）=0求得两根为x=±

a 3

即f（x）在（-∞，- 

a 3

），（

a 3

，+∞）上递增，在（-

a 3

，

a 3

）递减．
（2）f'（x）=3x²-a≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即a≥3x²在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知3x²在（-

2

3

，-

1

3

）上为减函数，
所以a≥

4

3

．a的取值范围是[

4

3

，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求解本题的关键是正确求出函数的导数，对于第一问要注意到参数的取值范围对导数的符号有影响故需要对参数分类讨论，而第二问中关键是把函数是减函数的性质转化为函数恒成立的问题，转化思想在高中数学在应用很广泛．