Question

17．设f（n）=cos（$\frac{n}{2}$π+$\frac{π}{4}$）（n∈N^*），求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值．

Answer 1

分析 由已知中函数的解析式，分析出函数的周期性，进而利用分组求和法，可得答案．

解答 解：∵f（n）=cos（$\frac{n}{2}$π+$\frac{π}{4}$）（n∈N^*），
当n=4k+1，k∈N时，f（n）=cos$\frac{3π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当n=4k+2，k∈N时，f（n）=cos$\frac{5π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当n=4k+3，k∈N时，f（n）=cos$\frac{7π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当n=4k+4，k∈N时，f（n）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即f（n）的值以4为周期，呈周期性变化，
∵2015=4×503+3，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，难度不大，属于基础题．