题目内容
已知△ABC内角A、C、B成等差数列，A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=3，若向量
=（1，sinA）与
=（2，sinB）共线，求a，b的值及△ABC的面积．
| p |
| q |
分析：由A、C及B成等差数列，利用三角形的内角和定理及等差数列的性质得到C的度数，再由两向量共线，利用两向量共线时满足的条件列出关系式，利用正弦定理化简后得到b=2a，记作①，由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式，记作②，联立①②得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：∵内角A、C、B成等差数列，且A+C+B=π，
∴C=
，…（2分）
∵向量
=（1，sinA）与
=（2，sinB）共线，
∴sinB-2sinA=0，…（4分）
由正弦定理
=
得：b=2a①，…（6分）
∵c=3，由余弦定理得：9=a2+b2-2abcos
，即a2+b2-ab=9②，…（8分）
解①②组成的方程组，解得：
，…（10分）
则S△ABC=
absinC=
×
×2
×sin
=
．…（12分）
∴C=
| π |
| 3 |
∵向量
| p |
| q |
∴sinB-2sinA=0，…（4分）
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
∵c=3，由余弦定理得：9=a2+b2-2abcos
| π |
| 3 |
解①②组成的方程组，解得：
|
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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