题目内容

证明数列{an}为等差数列的充要条件是{an}的前n项和Sn=An2+Bn.

证明：充分性：由{an}的前n项Sn=An2+Bn，?

∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=An2+Bn-［A（n-1）2+B（n-1）］

=2A·n+B-A?

∵a1=S1=A+B满足上式，?

∴an=2An+B-A，n∈N*，?

∴an+1-an=［2A（n+1）+B-A］-［2An+B-A］=?2A，

∴{an}为等差数列.?

必要性：∵{an}是等差数列,?

∴Sn=na1+n（n-1）d

=n2+（a1-）n?

令=A,a1-=B,

∴Sn=An2+Bn.?

综上，数列{an}为等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.

练习册系列答案
相关题目
等差数列{an}的公差d不为零，首项a1=1，a2是a1和a5的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn
（2）证明数列{2an}为等比数列；
（3）求数列{
1an•an+1
}的前n项和Tn．
（2011•重庆一模）设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，2
Sn
是an+2 和an的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞
an2
2
恒成立，求这样的正整数m共有多少个？
设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2Sn﹣4200＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？
设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？
设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中项．
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（Ⅱ）证明++…+＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

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