Question

等差数列{a_n}的公差d不为零，首项a₁=1，a₂是a₁和a₅的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n
（2）证明数列{2an}为等比数列；
（3）求数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据第二项是第一第五项的比例中项求出公差，从而可求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（2）利用等比数列的定义可证；
（3）对通项进行裂项，再进行求和即可．

解答：（1）解：由题意知，∵a₂是a₁和a₅的等比中项
∴（a₁+d）²=a₁（a1+4d），
即a₁²+2a₁d+d²=a₁²++4a₁d，
∴d=2a₁=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，Sn=n×1+

n(n-1)

2

×2=n2
（2）证明：∵

2an

2an-1

=2an-an-1=2d=4
∴数列{2an}为等比数列；
（3）解：

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n=

1

2

{(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题考查的重点是数列的通项与求和，解题的关键是利用等差数列与等比数列的定义，利用裂项法求和．