Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2

2

，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．

Answer 1

分析：旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．

解答：解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的
几何体，如右图：
S_表面=S_{圆台下底面}+S_圆台侧面+S_圆锥侧面
=πr₂²+π（r₁+r₂）l₂+πr₁l₁
=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2

2

=25π+35π+4

2

π
=60π+4

2

π．
体积V=V_圆台-V_圆锥
=

1

3

[25π+

25π×4π

+4π]×4-

1

3

×2π×2×2
=

1

3

×39π×4-

1

3

×8π
=

148π

3

．
所求表面积为：60π+4

2

π，体积为：

148π

3

．

点评：本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．