题目内容

已知数列{a_n}满足a_n+1= $数学公式$ ，a₁=0
（1）试求a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}通项公式；
（2）用数学归纳证明猜想．

解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1= $\text{[math]}$ ，a₁=0，
∴a₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
a₃= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
a₄= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
…
∴可猜想a_n= $\text{[math]}$ ；
（2）证明：①当n=1时，a₁=0，成立；
②假设n=k时a_k= $\text{[math]}$ ，
则n=k+1时，a_k+1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即n=k+1时，命题也成立；
综合①②可得，对任意正整数n，a_n= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用a₁=0与数列{a_n}的递推关系a_n+1= $\text{[math]}$ ，即可求得a₂，a₃，a₄，由此可猜想{a_n}通项公式；
（2）利用数学归纳法证明，假设n=k时a_k= $\text{[math]}$ ，去证明n=k+1时，命题也成立即可．
点评：本题考查数学归纳法，猜得a_n= $\text{[math]}$ 是关键，考查猜想、分析与证明的逻辑思维能力，属于难题．

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