题目内容

1．已知圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）和直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2++tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（其中t为参数，α为倾斜角）
（1）当α=$\frac{π}{3}$时，求圆上的点到直线l距离的最小值；
（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

分析 （1）求出圆和直线的普通方程，计算圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系，得出距离最小值；
（2）求出圆过点（2，$\sqrt{3}$）的切线的倾斜角，则α的值介于两条切线的倾斜角之间．

解答 解：（1）圆的标准方程为（x-1）2+y2=1，
当$α=\frac{π}{3}$时，直线l的斜率为$\sqrt{3}$，且过点（2，$\sqrt{3}$），
∴直线l的普通方程为3x-$\sqrt{3}$y-3=0．
∴圆心到直线l的距离d=0．
∴直线l与圆相交，
∴圆上的点到直线l距离的最小值为0．
（2）当α=$\frac{π}{2}$时，直线l的方程为x=2，显然与圆相切．
设圆过点（2，$\sqrt{3}$）的切线方程为y-$\sqrt{3}$=k（x-2），即kx-y-2k+$\sqrt{3}$=0．
∴圆心到切线的距离$\frac{|k-2k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴切线的倾斜角为$\frac{π}{6}$．
∵直线l与圆有公共点，
∴$\frac{π}{6}≤α≤\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．

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