Question

16．若函数f（x）=|a^x-1-1|在区间（a，3a-1）上单调递减，则实数a的取值范围是（0，$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=|a^x-1-1|的恒过坐标，对底数a进行讨论，利用复合函数单调性“同增异减”求解．

解答 解：由题意：函数f（x）=|a^x-1-1|，
图象恒过坐标为（1，0）
令t=x-1，
∵函数t在R上是增函数，
要使函数f（x）在区间（a，3a-1）上单调递减，求其减区间即可．
由a＜3a-1，
∴$\frac{1}{2}＜a$．
当0＜a＜1时，函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，
∴3a-1≤1
解得：a$≤\frac{2}{3}$
∵0＜a＜1
∴$0＜a≤\frac{2}{3}$．
当a＞1时，函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，
∴3a-1≤1
解得：a$≤\frac{2}{3}$
∵a＞1
无解
综上可得实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查了复合函数的单调性的运用和图象的翻折问题．函数f（x）=|a^x-1-1|的图象的翻折是解题的关键．属于中档题．