Question

11．已知集合A={y|y=log₂x，x≥4}，B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x，-1≤x≤0}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C={x|a≤x≤2a-1}，且C∪B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出y=log₂x，x≥4的值域得到集合A，求出y=（$\frac{1}{2}$）^x，-1≤x≤0的值域得到集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B；
（2）集合C={x|a≤x≤2a-1}，根据C∪B=B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）集合A={y|y=log₂x，x≥4}，
函数y=log₂x，
∵x≥4，
∴y≥2，
∴值域为{y|y≥2}
∴集合A={y|y=log₂x，x≥4}=[2，+∞）
B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x，-1≤x≤0}．
函数y=（$\frac{1}{2}$）^x，
∵-1≤x≤0，
∴2≥y≥1，
∴值域为{y|2≥y≥1}，
∴集合B=[1，2]．
那么：A∩B={2}．
（2）集合C={x|a≤x≤2a-1}，
∵C∪B=B，
∴C⊆B
当C=∅时，满足题意，此时2a-1＜a，解得：a＜1．
当C≠∅时，要使C⊆B，则满足$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤2}\end{array}\right.$，解得：1$≤a≤\frac{3}{2}$
综上可得：实数a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查指数，对数的值域的求法和集合的基本运算，比较基础．属于基础题．