Question

18．以下关于导数和极值点的说法中正确的是（　　）

• A． 可导函数f（x）为增函数的充要条件是f'（x）＞0．
• B． 若f（x）可导，则f'（x₀）=0是x₀为f（x）的极值点的充要条件．
• C． f（x）在R上可导，若?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞2017$，则?x∈R，f'（x）＞2017．
• D． 若奇函数f（x）可导，则其导函数f'（x）为偶函数．

Answer 1

分析 在A中，可导函数f（x）为增函数的充分不必要条件是f'（x）＞0；在B中，f′（x₀）=0是x₀为函数f（x）极值点的必要而不充分条件；在C中，?x∈R，f'（x）＞0；在D中，由f（x）是奇函数，能推导出f'（-x）=f'（x）．

解答 解：在A中，可导函数f（x）为增函数的充分不必要条件是f'（x）＞0，故A错误；
在B中，f′（x₀）=0是x₀为函数f（x）极值点的必要而不充分条件，
导数为零的点不一定为极值点，
例如函数f（x）=x³，而f′（0）=0，但是此函数单调递增，无极值点，故B错误；
在C中，f（x）在R上可导，若?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞2017$，
则?x∈R，f'（x）＞0，故C错误；
在D中，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
两边取导数，则（f（-x））'=（-f（x））'，∴f'（-x）（-x）'=-f'（x），
∴-f'（-x）=-f'（x），∴f'（-x）=f'（x），∴f'（x）是偶函数，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，涉及到导数、极值点、函数单调性、奇偶性等基础知识，是中档题．