Question

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求角C；
（2）若$c=\sqrt{7}$，△ABC的周长为$5+\sqrt{7}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得2cosCsinC=sinC，结合sinC≠0，可求$cosC=\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（2）由已知可求a+b=5，利用余弦定理可求ab=6，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）由正弦定理得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
即2cosCsin（A+B）=sinC，
∴2cosCsinC=sinC，
故$cosC=\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）∵$a+b+c=5+\sqrt{7}$且$c=\sqrt{7}$，
∴a+b=5，
∵由余弦定理得：a²+b²-2abcosC=7，
∴ab=6，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．