Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=-

1

2n+1

(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与

3n

2n+1

的大小，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）依题意，当n≥2时，由a_n=a₁+（a₂-a₁）（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=

1

2

+（-

1

22

）+（-

1

23

）+…+（-

1

2n

）可求得a_n=

1

2n

（n≥2），验证n=1时是否符合该式，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）依题意，T_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用错位相减法可求得T_n=2-

n+2

2n

，作差T_n-

3n

2n+1

，再整理得T_n-

3n

2n+1

=

(n+2)(2n-2n-1)

(2n+1)2n

，确定T_n与

3n

2n+1

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小，先判断，再猜想与证明即可．

解答：（1）当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=

1

2

+（-

1

22

）+（-

1

23

）+…+（-

1

2n

）
=

1

2

-（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）
=

1

2

-

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

2n

．
又a₁=

1

2

也适合上式，所以a_n=

1

2n

（n∈N^*）．
（2）由（1）得a_n=

1

2n

，所以b_n=na_n=

n

2n

．
因为T_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①，
所以

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②．
由①-②得，

1

2

T_n=

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

-

n

2n+1

，
所以T_n=1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
因为T_n-

3n

2n+1

=（2-

3n

2n+1

）-

n+2

2n

=

n+2

2n+1

-

n+2

2n

=

(n+2)(2n-2n-1)

(2n+1)2n

，
所以确定T_n与

3n

2n+1

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小．
当n=1时，2¹＜2×1+1；当n=2时，2²＜2×2+1；
当n=3时，2³＞2×3+1；
当n=4时，2⁴＞2×4+1；
…，
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1．
证明如下：当n≥3时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

≥

C

0 n

+

C

1 n

+

C

n-1 n

+

C

n n

=2n+2＞2n+1．
综上所述，当n=1或n=2时，T_n＜

3n

2n+1

；当n≥3时，T_n＞

3n

2n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式，考查分析法与综合法及二项式定理的综合应用，属于难题．