题目内容

已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $数学公式$ ，满足 $数学公式$ ，且△ABC外接圆半径为1．
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若实数k满足 $数学公式$ ，试确定k的取值范围．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，且△ABC外接圆半径为1，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ab=4cosAcosB．
再由正弦定理可得 a=2r•sinA=2sinA，同理可得b=2sinB．
∴4sinAsinB=4cosAcosB，化简可得cos（A+B）=0，∴A+B= $\text{[math]}$ ．
由 sinA+sinB=2sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），可得 $\text{[math]}$ ＜cos $\text{[math]}$ ≤1，∴1＜ $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
故sinA+sinB的取值范围是（1， $\text{[math]}$ ]．
（2）∵实数k满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，A为直角三角形的一个锐角，
∴ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，∴k＞1．
综上可得 k的取值范围（1，+∞）．
分析：（1）由两个向量共线的性质可得 ab=4cosAcosB，再由正弦定理可得4sinAsinB=4cosAcosB，化简求得 A+B= $\text{[math]}$ ．由 sinA+sinB=2sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ，
以及 $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求出sinA+sinB的取值范围．
（2）由实数k满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，A为直角三角形的一个锐角，可得 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，由此求得 k的取值范围．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理的应用，角三角形中的边角关系的应用，诱导公式的应用，属于中档题．