Question

16．已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，抛物线上的点P（m，4）到焦点的距离等于5
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在抛物线上，可设直线BC的斜率k，求正方形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可设抛物线的方程为：x²=2py，利用抛物线的定义求得p的值即可可得抛物线方程．
（2）利用直线方程的点斜式设出直线AB，BC，将两直线方程分别于抛物线联立；利用韦达定理及弦长公式表示出AB，BC；由正方形的边长相等，得到斜率与坐标的关系，代入BC中，得到函数解析式l=f（k），利用基本不等式求出正方形边长的最小值，即可得解正方形ABCD面积的最小值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）依题意，设抛物线方程为：x²=2py，
又∵4+$\frac{p}{2}$=5，即p=2，
∴抛物线的方程为：x²=4y，…（4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k（x-x₂）+$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$（k＞0），$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{2}）+\frac{{x}_{2}^{2}}{4}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
易知x₂、x₃为该方程的两个根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
从而得|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$（x₃-x₂）=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$（2k-x₂），…（6分）
类似地，可设直线AB的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x-x₂）+$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$，
从而得|AB|=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$（2+kx₂），…（8分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得x₂=$\frac{2（{k}^{3}-1）}{{k}^{2}+k}$，l_边长=f（k）=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}（{k}^{2}+1）}{k（k+1）}$（k＞0）…（10分）
因为l_边长=f（k）=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}（{k}^{2}+1）}{k（k+1）}$≥$\frac{4\sqrt{2k}×2k}{k（k+1）}$=4$\sqrt{2}$，（当且仅当k=1时取得最小值）…（12分）
所以S_{正方形ABCD}=l_边长²≥32，即S的最小值为32，当且仅当k=1时取得最小值．…（14分）

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查待定系数法，突出考查抛物线的定义的理解与应用，考查求曲线轨迹方程的常用方法：定义法；考查直线与圆锥曲线的位置关系，常用的处理方法是将方程联立用韦达定理，考查直线与圆锥曲线相交得到的弦长公式，属于中档题．