Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer 1

解：（1）由已知，椭圆方程可设为．
∵长轴长为，离心率，
∴．
所求椭圆方程为．
（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，
所以直线l的方程为y=x﹣1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得3y²+2y﹣1=0，
解得．
∴．
（3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，
此时∠POQ小于90°，
OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．
由可得
（1+2k²）x²﹣4k²x+2k²﹣2=0．
∴．
∵y₁=k（x₁﹣1），y₂=k（x₂﹣1）
∴
因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形．
由得
k²=2，
∴．
∴所求直线的方程为．