Question

2．已知是椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的两个焦点，P是椭圆上的一点，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则△F₁PF₂面积为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1可得a，b，c．设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=12．△F₁PF₂中，由余弦定理可得：（2c）²=${m}^{2}+{n}^{2}-2mncos\frac{π}{3}$，化简整理即可得出mn，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1可得a=6，b=4，c=2$\sqrt{5}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=12．
△F₁PF₂中，由余弦定理可得：（2c）²=${m}^{2}+{n}^{2}-2mncos\frac{π}{3}$=（m+n）²-3mn，
∴80=12²-3mn，
解得mn=$\frac{64}{3}$．
∴△F₁PF₂面积=$\frac{1}{2}mnsin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{64}{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．