Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．
（Ⅰ）若三角形AF₁F₂的周长为4$\sqrt{3}$+6，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2a+2c=6+4\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，化为（b²+a²k²）x²-a²b²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由AF₂⊥BF₂，可得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，再利用根与系数的关系化简整理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2a+2c=6+4\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=12，b²=3．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，化为（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
易知，AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₂-3，y₂），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=（1+k²）x₁x₂+9=0．
∴$\frac{-{a}^{2}（{a}^{2}-9）（1+{k}^{2}）}{（{a}^{2}-9）+{a}^{2}{k}^{2}}$+9=0，
将其整理为k²=$\frac{{a}^{4}-18{a}^{2}+81}{-{a}^{4}+18{a}^{2}}$=-1-$\frac{81}{{a}^{4}-18{a}^{2}}$．
∵|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴12＜a²＜18，
解得$2\sqrt{3}＜a＜3\sqrt{2}$，
∴离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}＜e＜\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．