Question

13．用数学归纳法证明：3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹（n∈N）能被14整除．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=0时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答 证明：（1）当n=0时，3²+5¹=14能被14整除
（2）假设当n=k时，3^4K+2+5^2K+1能被14整除，
则当n=k+1时，
3^4（k+1）+2+5^2（k+1）+1=3⁴（3^4k+2+5^2k+1）-56•5^2k+1．
∵56•5^2k+1能被14整除，3^4K+2+5^2K+1能被14整除，
∴当n=k+1时也成立
由①②知，当n∈N时，3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹能被14整除

点评 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．