Question

3．某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教．
（Ⅰ）设所选 3人中女教师的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定X的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX；
（Ⅱ）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率．

解答 解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，
且$P（X=0）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，$P（X=1）=\frac{C_3^1C_4^2}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（X=2）=\frac{C_3^2C_4^1}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

故$E（X）=0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}+3×\frac{1}{35}=\frac{9}{7}$．…（6分）
（Ⅱ）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，
则$P（A）=\frac{C_4^1A_6^2}{A_7^3}=\frac{4}{7}$，$P（AB）=\frac{C_4^1C_3^1C_5^1}{A_7^3}=\frac{2}{7}$，
所以$P（B|A）=\frac{P（AB）}{P（A）}=\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．