Question

数列{a_n}的前n项和记作S_n，满足S_n=2a_n+3n-12  （n∈N^*）．
（1）求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

an

(Sn-3n)(an+1-6)

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

1

6

；
（3）若c_n=

an-3

3n

，且

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

＜log_a（6-a）对所有的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n+3n-12可得S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12  （n≥2），两式相减化简可得a_n-3=2（a_n-1-3），从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=

an

(Sn-3n)(an+1-6)

=

1

6

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，从而b₁+b₂+…+b_n=

1

6

(

1

21-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)化简可证
（3）c_n=

an-3

3n

=

2n

n

，令T_n=

1

c1

+ 

1

c2

++…+

1

cn

   再写一式错位相减可知Tn=2-

n+2

2n

，从而T_n＜2故问题可转化为log_a（6-a）≤2，进而问题得解．

解答：解：（1）S_n=2a_n+3n-12，S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12  （n≥2）
作差化简得到a_n-2a_n-1+3=0，所以a_n-3=2（a_n-1-3）且a₁=9，
所以a_n-3=6•2^n-1，所以a_n=3•2ⁿ+3
（2）b_n=

an

(Sn-3n)(an+1-6)

=

1

6

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，∴b₁+b₂+…+b_n=

1

6

(

1

21-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=

1

6

(

1

21-1

-

1

2n+1-1

)＜

1

6

（3）c_n=

an-3

3n

=

2n

n

，令T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

错位相减得 Tn=2-

n+2

2n

，∴T_n＜2  
∵

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

＜log_a（6-a）对所有的正整数n恒成立，∴log_a（6-a）≤2
当0＜a＜1时，6-a≤a²，∴a≥2或a≤-3
当1＜a＜6时，6-a≥a²，∴-3≤a≤2
综上，1≤a≤2．

点评：本题考查构造法求数列的通项、裂项求和，同时考查恒成立问题的处理，解题时要认真审题，仔细解答，注意问题的等价转化．