Question

9．在△ABC中，若$\frac{tanA}{tanB}$+$\frac{tanA}{tanC}$=3，则sinA的最大值为$\frac{\sqrt{21}}{5}$．

Answer 1

分析 运用切化弦和两角和的正弦公式及诱导公式，再由正弦定理、余弦定理，即可得答案．

解答 解：在△ABC中，$\frac{tanA}{tanB}$+$\frac{tanA}{tanC}$=3，
∴$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}+\frac{sinAcosC}{cosAsinC}=3$．
∴$\frac{sinA（cosBsinC+cosCsinB）}{cosAsinBsinC}=3$，即$\frac{sinAsin（C+B）}{cosAsinBsinC}=3$，
∴$\frac{si{n}^{2}A}{cosAsinBsinC}=3$．
根据正弦定理得：$\frac{{a}^{2}}{bccosA}=3$．
∴a²=3bccosA．
又根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-2bccosA=3bccosA．
∴$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{5bc}≥\frac{2bc}{5bc}=\frac{2}{5}$．
当且仅当b=c时等号成立，
∴$co{s}^{2}A≥\frac{4}{25}$．
∴$1-si{n}^{2}A≥\frac{4}{25}$，即$si{n}^{2}A≤\frac{21}{25}$，
∴$sinA≤\frac{\sqrt{21}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{5}$

点评 本题考查三角函数的切化弦，及两角和的正弦公式和诱导公式的运用，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题．